По простому пути.
Даже если указываю иной шаблон, все равно нужно копировать структуру  category.tpl.

Ну тогда просто перенесите себе содержимое из другого шаблона.

В режиме правки блок с категориями пропадает.

Скорее всего он перемещается. Либо становится маленьким. Наведитесь на место где должен быть блок.

Подскажите а как вывести на главной сами категории и подкатегории. Допустим в теме воздушная, есть меню с категориями и подкатегориями. Вот такое же аналогично хочу вывести. По сути нужен вид раскрытого меню и вывод в любом месте. Пока не могу понять в каком файле содержится конструкция. Или есть такой блок, который это выводит.

Категории выводит блок контроллер по пути
/modules/catalog/controller/block/category.inc.php .
Если в него заглянуть, то там есть строка

'indexTemplate' => 'blocks/category/category.tpl',

Т.е. это и есть путь к шаблону по умочанию который показывает ваши категории.
В каждой теме оформления кроме, той что по умолчанию путь к категориям будет такой

/templates/ВАША ТЕМА/moduleview/catalog/blocks/category/category.tpl

Воздушная это тема с именем perfume.

Можно скопировать шаблон, а можно пойти и по простому пути. Простой путь это в публичной части, если Вы будете находится под админом нужно переключиться в режим правки (слева в самом верху включатель). Потом навестись на Ваш блок с выводом категорий. Появятся кнопки настройки блока. Там можно указать новый путь к Вашему шаблону. Стили естественно подгружены не будут. Вы можете прописать их самостоятельно, либо перекинуть себе в style.css из воздушной темы.