Как сделать запрос к корзине и её обновить.

Вам надо запросить блок контроллер корзины Аяксом, система поймёт, что это аякс и ответит содержимым блок контроллера, он сгенерирует html и ответит json ответом, где будет как раз тот html.

Как запросить данный блок контроллер?

url на блок контроллер корзины будет такой:

{$router->getUrl('shop-block-cart')}

Соответственно его надо записать в шаблоне. Я предлагаю записать его в атрибут data-url у оборачивающего контейнера Вашего блока с краткой корзиной. Например:

<div id="cartBlockWrapper" data-url="{$router->getUrl('shop-block-cart')}">
...
</div>

Вот из этого дива можно будет потом взять значение из data-url
За отправку запроса на добавление товара отвечает скрипт с именем common.js. Как только запрос с добавлением корзины будет успешно выполнен, Вам надо будет отослать запрос на получение корзины.
Самая последняя функция которая срабатывает в данном скрипте это updateCartBlock. Она как раз ловит ответ от корзны с краткими сведениями. Вот в конце неё надо будет Вам вызвать этот ajax запрос. Адрес можно взять из оборачивающего контейнера, для приведённого нашего случаю это будет так:

var url = $("#cartBlockWrapper").data('url'); 

Отработать его и заменить содержимое оборачивающего контейнера блока корзины Вашей (cartBlockWrapper как оговаривалось выше).
Для того, чтобы увидеть, что приходит от сервера воспользуйтесь командой console.log(); и панелью консоли в FireFox например.